martes, 21 de abril de 2015

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

   

Integración por sustitución trigonométrica

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:


$\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}},\;\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}, \sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}}}$ con $a > 0$ y $b>0$

La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:

a.
El integrando contiene una función de la forma $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}}$ con $a>0\; , \;b>0$
Se hace el cambio de variable escribiendo

$\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta,}$donde $\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[\; y \;x\;\varepsilon \left]\frac{-a}{b}, \frac{a}{b}\right[$

Si $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$ entonces $dx = \frac{a}{b}\;cos\;\theta\;d\theta$

Además:

$\displaystyle {=\sqrt{a^{2}(1-sen^{2}\theta)} = \sqrt{a^{2}\;cos^{2}\theta} = \vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta,}$ pues $a > 0$ y como

$\displaystyle {\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$ entonces $cos\;\theta>0$ por lo que $\vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta$

Luego: $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}} = a\;cos\;\theta}$

Como $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$ entonces $sen\;\theta = \frac{bx}{a} \; y\; \theta = arcsen\left(\frac{bx}{a}\right)$
Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Ejemplos:

1. $\displaystyle {\int \sqrt{16 - x^{2}}\;dx\; x \varepsilon ]-4,4[}$

Sea $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$ con $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$
$\displaystyle {dx = 4\;cos\;\theta\; d \theta}$

Luego: $\displaystyle {16-x^{2} = 16-16\;sen^{2}\theta = 16\;(1-sen^{2}\theta) = 16\;cos^{2}\theta}$

$\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$

Sustituyendo:

$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = \int 4\;cos\;\theta \cdot 4\;cos\;\theta\;d\theta = 16\int cos^{2}\theta\;d\theta}$

$\displaystyle {= 16\int \frac{1+cos\;2\theta}{2}\;d\theta = 8\int (1+cos\;2\theta)\;d\theta}$

$\displaystyle {= 8\;(\theta + \frac{1}{2}\;sen\;\theta) + C}$

$\displaystyle {= 8\theta + 4\cdot 2\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

$\displaystyle {= 8\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

Como $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$ entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{4}}$ y $\displaystyle {\theta = arcsen\left(\frac{x}{4}\right)}$

Además $\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$ por lo que $\displaystyle {cos\;\theta = \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}}$

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:
Por último:

$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

$\displaystyle {=8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + 8\cdot \frac{x}{4}\cdot \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4} + C}$

$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2} + C}$
2. $\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}},\; x \varepsilon \left]\frac{-5}{2},\frac{5}{2}\right[}$
Sea $\displaystyle {x = \frac{5}{2}\;sen\;\theta,\; \theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = \frac{5}{2}\;cos\;\theta\;d\theta}$

Luego $\displaystyle {25-4x^{2} = 25-4\cdot \frac{25}{4}\;sen^{2}\theta = 25-25\;sen^{2}\theta}$

$\displaystyle {25-4x^{2} = 25(1-sen^{2}\theta) = 25\;cos^{2}\theta}$

$\displaystyle {\sqrt{25-4x^{2}} = 5\;cos\;\theta}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}} = \int \frac{\frac{5}{2}\;cos\... ...sen\;\theta\cdot 5\;cos\;\theta} = \frac{1}{5}\int \frac{d\theta}{sen\;\theta}}$

$\displaystyle {=\frac{1}{5}\int csc\;\theta\;d\theta}$

$\displaystyle {=\frac{1}{5} \;ln\vert csc\;\theta - cot\;\theta\vert + C}$

Como $\displaystyle {x = \frac{5}{2}\;sen\;\theta}$ entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{2x}{5}}$ por lo que puede
utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:

$\displaystyle {csc\;\theta = \frac{1}{sen\;\theta} = \frac{1}{\frac{2x}{5}} = \frac{5}{2x}}$
 
Luego:

$\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}} = \frac{1}{5}\;ln\left\vert\frac{5}{2x} - \frac{\sqrt{25-4x^{2}}}{2x} \right\vert + C }$
3. $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{4-x^{2}}},\; x \varepsilon ]-2,2[}$
Sea $\displaystyle {x = 2\;sen\;\theta\; \hspace{2cm} \theta\;\varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$
$\displaystyle {dx = 2\;cos\;\theta\;d\theta}$

Además: $\displaystyle {4-x^{2} = 4-4\;sen^{2}\theta = 4\;cos^{2}\theta}$

$\displaystyle { \sqrt{4-x^{2}} = 2\;cos\;\theta}$

Sustituyendo:

$\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{4-x^{2}}} = \int \frac{(2\;sen\;\theta)^{2}\;2\;cos\;\theta\;d\theta}{2\;cos\;\theta}= 4 \int sen^{2}\theta \;d\theta}$

$\displaystyle {= 4\int \frac{1-cos\;2\theta}{2}\;d\theta = 2 \int (1 - cos\;2\theta)\;d\theta}$

$\displaystyle {= 2\left(\theta - \frac{1}{2}\;sen\;2\theta\right) + C}$

$\displaystyle {= 2\theta - 2\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

$\displaystyle {= 2\;arcsen\left(\frac{x}{2}\right) - 2\;\cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2} + C}$

$\displaystyle {= 2\;arcsen\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{x\;(4-x^{2})}{2} + C}$
4. $\displaystyle {\int \frac{dx}{(5-x^{2})^{\frac{3}{2}}},\; x \varepsilon ]-\sqrt{5},\sqrt{5}[}$


Sea $\displaystyle {x = \sqrt{5}\;sen\;\theta\; \hspace{2cm} \theta\;\varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = \sqrt{5}\;cos\;\theta\;d\theta}$

Luego $\displaystyle {5-x^{2} = 5-5\;sen^{2}\theta = 5\;cos^{2}\theta}$

$\displaystyle {(5-x^{2})^{\frac{3}{2}} = (5\;cos^{2}\theta)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{(5\;cos^{2}\theta)^{3}}}$

$\displaystyle {(\sqrt{5}\;cos\;\theta)^{3} = 5\;\sqrt{5}\;cos^{3}\theta}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{dx}{(5-x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{\sqrt{5}\;c... ...} \int \frac{d\theta}{cos^{2}\theta} = \frac{1}{5} \int sec^{2}\theta\;d\theta}$

$\displaystyle {= \frac{1}{5}\;tan\;\theta + C}$

$\displaystyle {= \frac{1}{5}\cdot \frac{x}{\sqrt{5-x^{2}}} + C}$

pues $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{\sqrt{5}}}$ y $\displaystyle {cos\;\theta = \frac{\sqrt{5-x^{2}}}{\sqrt{5}}}$

También puede utilizarse:

 
5. $\displaystyle {\int x^{2}\;\sqrt{25-x^{2}}\;dx}$  Ejercicio para el estudiante
6. $\displaystyle {\int \frac{x^{2}}{(4-x)^{\frac{3}{2}}}\;dx}$        Ejercicio para el estudiante
7. $\displaystyle {\int \frac{x^{3}\;dx}{\sqrt{16-x^{2}}}}$           Ejercicio para el estudiante
 
b.
El integrando contiene una expresión de la forma $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}}$ con $a>0\; , \;b>0$
Hacemos un cambio de variable escribiendo $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;tan\;\theta,}$ donde $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$ y $x \varepsilon I\!\!R$

Si $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;tan\;\theta}$ entonces $\displaystyle {dx = \frac{a}{b}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

Además $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} \cdot \frac{a^{2}}{b^{2}}\;tan^{2}\theta} = \sqrt{a^{2} + a^{2}\;tan^{2}\theta}}$

$\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = \sqrt{a^{2}(1+tan^{2}\theta )} = \sqrt{a^{2}\;sec^{2}\theta} = \vert a\;sec\;\theta\vert}$

Como ${a>0}$ y $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$ entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{1}{cos\;\theta}}$ es positiva

y por tanto $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = a\;sec\;\theta}$

Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente figura:

         Ejemplos:
1. $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}}}$
Sea $\displaystyle {x = 2\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$
$\displaystyle {dx = 2\;sec^{2}\theta\;d\theta}$
Luego: $\displaystyle {4+x^{2} = 4+4\;tan^{2}\theta = 4(1 + tan^{2}\theta)}$
$\displaystyle {4+x^{2} = 4\;sec^{2}\theta }$
$\displaystyle {\sqrt{4+x^{2}} = \sqrt{4\;sec^{2}\theta} = \vert 2\;sec\;\theta\vert = 2\;sec\;\Theta}$
Sustituyendo
$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}} = \int \frac{2\;sec^{2}\theta\;d\theta}{2\;sec\;\theta} = \int sec\;\theta\;d\theta}$
$\displaystyle {ln\;\vert sec\;\theta+ tan\;\theta\vert + C}$
$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}} = ln\left\vert \frac{\sqrt{4+x^{2}}}{2} + \frac{x}{2}\right\vert + C}$
2. $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{x^{2}+6}}}$

Sea $\displaystyle {x = \sqrt{6}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = \sqrt{6}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

Luego: $\displaystyle {x^{2} + 6 = 6\;tan^{2}\theta + 6 = 6(tan^{2}\theta + 1) = 6\;sec^{2}\theta}$

$\displaystyle {\sqrt{x^{2}+6} = \sqrt{6\;sec^{2}\theta} = \sqrt{6}\;sec\;\theta... ...heta>0 si \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[\right)}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{x^{2}}{\sqrt{^{2}+6}}\;dx = \int \frac{6\;tan^{2}\the... ...a\;d\theta}{\sqrt{6}\;sec\;\theta} = 6\int tan^{2}\theta\;sec\;\theta\;d\theta}$

$\displaystyle {= 6 \int (sec^{2}\theta - 1)\;sec\;\theta\;d\theta = 6\int(sec^{3} - sec\;\theta)\;d\theta}$

$\displaystyle {= 6 \left[\frac{1}{2}(sec\;\theta\;tan\;\theta) + ln\;\vert sec\... ...eta + tan\;\theta\vert\right] -6\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$

$\displaystyle {= 3 sec\;\theta\;tan\;\theta - 3\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$

$\displaystyle {= 3 \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+6}}{\sqrt{6}}\cdot \frac{x}{\sqrt{6}... ...;\left\vert\frac{\sqrt{x^{2}+6}}{\sqrt{6}} + \frac{x}{\sqrt{6}}\right\vert + C}$

$\displaystyle {= \frac{x\sqrt{x^{2}+6}}{2} - 3\;ln\;\left\vert\frac{\sqrt{x^{2}+6} + x}{\sqrt{6}}\right\vert + C}$
3. $\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}}}$
Sea $\displaystyle {x = \frac{3}{2}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = \frac{3}{2}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

Luego $\displaystyle {9 + 4x^{2} = 9 + 4\cdot \frac{9}{4}\;tan^{2}\theta = 9 + 9\;tan^{2}\theta = 9(1 + tan^{2}\theta)}$

$\displaystyle {9 + 4x^{2} = 9\;sec^{2}\theta}$

$\displaystyle {(9 + 4x^{2})^{\frac{3}{2}} = (9\;sec^{2}\theta)^{\frac{3}{2}} = (9\;sec^{2}\theta)^{3}}$

$\displaystyle {(9 + 4x^{2})^{\frac{3}{2}} = (3\;sec\;\theta)^{3} = 27\;sec^{3}\theta}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{\frac{3... ...}\theta}\;d\theta = \frac{1}{12} \int \frac{tan\;\theta\;d\theta}{sec\;\theta}}$

$\displaystyle {= \frac{1}{12} \int \frac{\frac{sen\;\theta}{cos\;\theta}}{\frac... ...heta = \frac{1}{12} \int sen\;\theta\;d\theta = \frac{1}{12}(-cos\;\theta) + C}$

Como
$\displaystyle {tan\;\theta = \frac{2x}{3}}$ de la sustitución inicial
Por tanto:

$\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{-1}{12} \cdot\frac{3}{\sqrt{9+4x^{2}}} + C}$

$\displaystyle {= \frac{-1}{4\sqrt{9+4x^{2}}} + C }$

4. $\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}}}$
Sea $\displaystyle {x = \sqrt{3}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = \sqrt{3}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

Luego $\displaystyle {x^{2} + 3 = 3\;tan^{2}\theta + 3 = 3(tan^{2}\theta + 1) = 3\;sec^{2}\theta}$

$\displaystyle {\sqrt{x^{2}+3} = \sqrt{3\;sec^{2}\theta} = \sqrt{3}\;sec\;\theta}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}} = \int \frac{\sqrt{3}\;sec^{... ...{3}\;sec\;\theta} = \frac{1}{9}\int \frac{sec\;\theta\;d\theta}{tan^{4}\theta}}$

$\displaystyle {= \frac{1}{9} \int \frac{cos^{4}\theta}{cos\;\theta\cdot sen^{4}\theta}\;d\theta = \frac{1}{9}\int \frac{cos^{3}\theta}{sen^{4}\theta}\;d\theta}$

$\displaystyle {= \frac{1}{9} \int \frac{(1-sen^{2}\theta)cos\;\theta}{sen^{4}\t... ...n^{4}\theta}- \frac{sen^{2}\theta\;cos\;\theta}{sen^{4}\theta}\right)\;d\theta}$

$\displaystyle {= \frac{1}{9} \int cos\;\theta(sen\;\theta)^{-4}\;d\theta - \frac{1}{9}\int cos\;\theta(sen\;\theta)^{-2}\;d\theta}$

$\displaystyle {= \frac{1}{9}\;\frac{(sen\;\theta)^{-3}}{-3} - \frac{1}{9}\;\frac{(sen\;\theta)^{-1}}{-1} + C}$

$\displaystyle {= \frac{-1}{27\;sen^{3}\theta} + \frac{csc\;\theta}{9} + C}$

Como $\displaystyle {x = \sqrt{3}\;tan\;\theta}$ entonces $\displaystyle {tan\;\theta = \frac{x}{3}}$

Por lo que:

se obtiene: $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}, csc\;\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}}$
 
Por último:

$\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}} = \frac{-(\sqrt{x^{2} + 3})^{3}}{27\;x^{3}} + \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{9x} + C}$
5. $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{x}\;dx}$  Ejercicio para el estudiante
 
6. $\displaystyle {\int \frac{x^{3}\;dx}{\sqrt{9+3x^{2}}}\;dx}$  Ejercicio para el estudiante
c.
El integrando contiene una expresión de la forma $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2}- a^{2}}}$ con $a > 0$ y $b>0$
En este caso la sustitución adecuada es:

$\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta,}$donde $\displaystyle {\theta \varepsilon \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \;U\;\left]\pi, \frac{3\pi}{2} \right[}$

y $\displaystyle {x\; \varepsilon \left]-\infty, \frac{-a}{b}\right[ \bigcup \left]\frac{a}{b}, +\infty, \right[, o\; sea \vert x\vert>\frac{a}{b}}$

Si $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta}$ entonces $\displaystyle {dx = \frac{a}{b}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}$

Además $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}} = \sqrt{b^{2}\cdot \frac{a^{2}}{b^{2}}\cdot sec^{2}\theta -a^{2}} = \sqrt{a^{2}(sec^{2}\theta-1)}}$

de donde $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}} = \sqrt{a^{2}\;tan^{2}\theta} = \vert a\;tan\;\theta\vert = a\;tan\;\theta,}$

pues $a > 0$ y $tan\;\theta>0$ para $\theta \varepsilon \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \bigcup \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$

Como $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta}$ entonces $\displaystyle {sec\;\theta = \frac{bx}{a}}$ por lo que $\displaystyle {\theta = arcsen\left(\frac{bx}{a}\right)}$

Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las otras funciones trigonométricas:

Ejemplos:

1. $\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{\sqrt{x^{2}-9}}, \vert x\vert>3}$
 Sea $\displaystyle {x = 3\;sec\;\theta}$

$\displaystyle {dx = 3\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta, \theta \varepsilon \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \bigcup \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[}$
Luego $\displaystyle {x^{2}-9= 9\;sec^{2}\theta-9 = 9(sec^{2}\theta-1) = 9\;tan^{2}\theta}$
$\displaystyle {\sqrt{x^{2}-9} = \sqrt{9\;tan^{2}\theta} = 3\;tan\;\theta}$
Sustituyendo:
$\displaystyle {\int \frac {x\;dx}{\sqrt{x^{2}-9}} = \int \frac{3\;sec\;\theta \cdot 3\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}{3\;tan\;\theta}}$
$\displaystyle {= 3\int sec^{2}\theta\;d\theta = 3\;tan\;\theta + C = \sqrt{x^{2}-9}}$
2. $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{4x^{2}-1}}{x}\;dx, \vert x\vert>\frac{1}{4}}$
Sea $\displaystyle {x = \frac{1}{2}\;sec\;\theta}$
$\displaystyle {dx = \frac{1}{2}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}$
Luego $\displaystyle {4x^{2}-1= 4\cdot\frac{1}{4}\;sec^{2}\theta-1 = sec^{2}\theta-1 = tan^{2}\theta}$
$\displaystyle {\sqrt{4x^{2}-1} = \sqrt{tan^{2}\theta} = tan\;\theta}$
Sustituyendo:
$\displaystyle {\int \frac{\sqrt{4x^{2}-1}}{x}\;dx = \int \frac{tan\;\theta\cdot \frac{1}{2}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}{\frac{1}{2}\;sec\;\theta}}$
$\displaystyle {= \int tan^{2}\theta\;d\theta = \int(sec^{2}\theta-1)\;d\theta}$
$\displaystyle {= \int tan\;\theta - \theta + C = \sqrt{4x^{2}-1} - arcsec\;(2x) + C}$
3. $\displaystyle {\int \frac{du}{u^{2}\sqrt{u^{2}-8}}, \vert u\vert>2\sqrt{2}}$
Sea $\displaystyle {u = \sqrt{8}\;sec\;\theta}$
$\displaystyle {du = \sqrt{8}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}$

Luego $\displaystyle {u^{2}-8= 8\;sec^{2}\theta-8 = 8(sec^{2}\theta-1) = 8\;tan^{2}\theta}$
$\displaystyle {\sqrt{u^{2}-8} = \sqrt{8\;tan^{2}\theta} = \sqrt{8}\;tan\;\theta}$
Sustituyendo:
$\displaystyle {\int \frac{du}{u^{2}\sqrt{u^{2}-8}} = \int \frac{\sqrt{8}\;sec\;... ...2}\theta\;\sqrt{8}\;tan\;\theta} = \frac{1}{8}\int \frac{d\theta}{sec\;\theta}}$
$\displaystyle {= \frac{1}{8}\int cos\;\theta\;d\theta = \frac{1}{8}\;sen\;\theta + C}$
Como $\displaystyle {sec\;\theta = \frac{u}{\sqrt{8}}}$ puede utilizarse la siguiente figura para determinar $sen\;\theta$
Por último:
$\displaystyle {\int \frac{du}{u^{2}\sqrt{u^{2}-8}} = \frac{1}{8}\;\frac{\sqrt{u^{2}-8}}{u} + C}$
4. $\displaystyle {\int x^{3}\sqrt{4x^{2}-9}\;dx}$  Ejercicio para el estudiante
 
5. $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{y^{2} - 25}}{y^{4}}\;dy}$     Ejercicio para el estudiante
Otras integrales en las que se utiliza alguna de las sustituciones trigonométricas que hemos estudiado, son aquellas que contienen una expresión de la forma $\displaystyle {(Ax^{2}+Bx+C)^{\frac{1}{2}}}$. En los siguientes ejemplos se ilustra el procedimiento a seguir:
 ejemplos

1. $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-6x+13}}}$
Podemos escribir $x^{2}-6x+13$ como $x^{2}-6x+9+4$ o sea $(x-3)^{2} + 4$
Luego $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{(x-3)^{2}+4}}}$ es la integral que debemos calcular
Sea $\displaystyle {x - 3 = 2\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[}$
$\displaystyle {dx = 2\;sec^{2}\theta\;d\theta}$
Luego $\displaystyle {(x-3)^{2}+4= 4\;tan^{2}\theta + 4 = 4\;sec^{2}\theta}$
$\displaystyle {\sqrt{(x-3)^{2}+4} = \sqrt{4\;sec^{2}\theta} = 2\;sec\;\theta}$
Sustituyendo:
$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{(x-3)^{2}+4}} = \int \frac{2\;sec^{2}\theta\;d\theta}{2\;sec\;\theta} = \int sec\;\theta\;d\theta}$
$\displaystyle {=\frac{1}{2}\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$
$\displaystyle {=\frac{1}{2}\;ln\;\left\vert\frac{\sqrt{(x-3)^{2}+4}}{2} + \frac{x-3}{2}\right\vert + C}$
$\displaystyle {=\frac{1}{2}\;ln\;\left\vert\frac{\sqrt{(x-3)^{2}+4} + (x-3)}{2}\right\vert + C, x\;\varepsilon I\!\!R}$
2. $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{21+4x-x^{2}}}}$
Se tiene que: $\displaystyle {21+4x-x^{2} = 21-(x^{2}-4x)}$

$\displaystyle {= 21-(x^{2}-4x+4-4)}$

$\displaystyle {= 21-(x-2)^{2}-4}$

$\displaystyle {= 21-(x-2)^{2}+4 = 25-(x-2)^{2}}$

Luego la integral se convierte en: $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{25 - (x-2)^{2}}}}$

y se utiliza la sustitución $(x-2) = 5\;sen\;\theta$ de donde: $x = 2 + 5\;sen\;\theta$

$\displaystyle {dx = 5\;cos\;\theta\;d\theta}$

Luego: $25-(x-2)^{2} = 25-25\;sen^{2}\theta = 25\;cos^{2}\theta$

$\displaystyle {\sqrt{25-(x-2)^{2}} = 5\;cos\;\theta}$

Sustituyendo:

$\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{25-(x-2)^{2}}} = \int \frac{(2+5\;sen\;\theta)^{2}\;5\;cos\;\theta\;d\theta}{5\;cos\;\theta}}$

$\displaystyle {=\int (4+20\;sen\;\theta + 25\;sen^{2}\theta)\;d\theta}$

$\displaystyle {=\int 4\;d\theta + 20\int sen\;\theta\;d\theta + 25\int \frac{1-cos\;2\theta}{2}\;d\theta}$

$\displaystyle {=\int 4\;d\theta + 20\int sen\;\theta\;d\theta + \frac{25}{2}\int d\theta - \frac{25}{2}\int cos\;2\theta\;d\theta}$

$\displaystyle {=4\;\theta - 20\;cos\;\theta + \frac{25}{2}\;\theta - \frac{25}{4}\;sen\;2\theta + C}$

$\displaystyle {=\frac{33}{2}\;\theta - 20\;cos\;\theta + \frac{25}{2}\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

$\displaystyle {=\frac{33}{2}\;arcsen\left(\frac{x-2}{5}\right) - 20\;\frac{\sqr... ...}}{5} + \frac{25}{2}\cdot \frac{x-2}{5}\cdot \frac{\sqrt{25-(x-2)^{2}}}{5} + C}$

$\displaystyle {=\frac{33}{2}\;arcsen\left(\frac{x-2}{5}\right) - 4\sqrt{21+4x-x^{2}} + \frac{(x-2)\sqrt{21+4x-x^{2}}}{2} + C}$

con $\vert x-2\vert<5$ o sea $x \varepsilon ]-3,7[$
3. $\displaystyle {\int \frac{2x\;dx}{\sqrt{x^{2}+4x+3}}}$
Se tiene que $x^{2}+4x+3 = x^{2}+4x+4-1 = (x+2)^{2}-1$

por lo que $\displaystyle {\int \frac{2x\;dx}{\sqrt{x^{2}+4x+3}} = \frac{2x\;dx}{\sqrt{(x+2)^{2}}-1}}$, con $\vert x+2\vert>1$

sea $x+2 = sec\;\theta$ de donde $x = sec\;\theta - 2$

$dx = sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta$

Luego $(x+2)^{2} - 1 = sec^{2}\theta-1 = tan^{2}\theta$ y $\sqrt{(x+2)^{2}-1 = tan\;\theta}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{2x\;dx}{\sqrt{(x+2)^{2}-1}} = \int \frac{2\;(sec\;\theta-2)\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}{tan\;\theta}}$

$\displaystyle {= 2\int (sec^{2}\theta-2\;sec\;\theta)\;d\theta}$

$\displaystyle {= 2\;tan\;\theta-4\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$

$\displaystyle {= 2\sqrt{(x+2)^{2}-1}-4\;ln\;\vert x+2+\sqrt{x^{2}+4x+3}\vert + C}$
4. $\displaystyle {\int \frac{(x+2)\;dx}{(3+2x-x^{2})^{\frac{3}{2}}}}$
Se tiene que $3+2x-x^{2} = 4-(x-1)^{2}$ (completando cuadrados)

Luego la integral que se debe determinar es:

$\displaystyle {\int \frac{(x+2)\;dx}{\left[4-(x-2)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}}$

Sea $(x-1) = 2\;sen\;\theta$

$x = 1+2\;sen\;\theta$

$dx = 2\;cos\;\theta\;d\theta$

Luego $4-(x-1)^{2} = 4-4\;sen^{2}\theta = 4(1-sen^{2}\theta) = 4\;cos^{2}\theta$

$\left(\sqrt{4-(x-1)^{2}}\right)^{3} = \left(\sqrt{4\;cos^{2}\theta}\right)^{3} = (2\;cos\;\theta)^{3} = 8\;cos^{3}\theta$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{(x+2)\;dx}{\left[4-(x-2)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{(1+2\;sen\;\theta+2)\;2\;cos\;\theta\;d\theta}{8\;cos^{3}\theta}}$

$\displaystyle {=\frac{1}{4} \int \frac{(3+2sen\;\theta)\;d\theta}{cos^{2}\theta... ...\frac{3}{cos^{2}\theta} + \frac{2\;sen\;\theta}{cos^{2}\theta}\right)\;d\theta}$

$\displaystyle {=\frac{3}{4}\int sec^{2}\theta\;d\theta + \frac{1}{2}\cdot sen\;\theta\;(cos\;\theta)^{-2}\;d\theta}$

$\displaystyle {=\frac{3}{4}\;tan\;\theta - \frac{1}{2}\cdot \frac{(cos\;\theta)^{-1}}{-1} + C}$

$\displaystyle {=\frac{3}{4}\;tan\;\theta + \frac{1}{2\;cos\;\theta}+ C}$

Como $\displaystyle {x-1 = 2\;sen\;\theta}$ entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x-1}{2}}$ y utilizando que


se obtiene finalmente que
 $\displaystyle {=\int \frac{(x+2)\;dx}{(3+2x-x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{4}\cdot \frac{(x-1)}{\sqrt{4-(x-1)^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^{2}}} + C,}$ con $x \varepsilon ]-1,3[$
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